Persamaan Linier Dua Variabel

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV).

--Kamu tahu nggak, nih. Ternyata, masalah Kumamon ini bisa diselesaikan dengan menggunakan Matematika, lho, yaitu dengan penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Nah, untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan SPLDV ini, kita harus melewati langkah-langkahnya dulu. Jadi, nggak bisa asal-asalan dalam menentukan solusinya. Mau tahu apa saja langkah-langkahnya? Yuk, simak penjelasannya pada artikel berikut ini!

Lalu, apa sih bedanya PLSV dengan PLDV? Bedanya, kalau PLSV, persamaannya hanya memiliki satu variabel saja, sedangkan PLDV, persamaannya memiliki dua variabel. Nah, variabel-variabel ini hanya memiliki pangkat atau derajat bernilai satu. Kamu bingung nggak, nih? Kalau bingung, yuk, coba perhatikan contoh di bawah ini! 

Bagaimana, sudah paham kan letak perbedaannya? Apabila terdapat dua atau lebih PLDV yang memiliki hubungan satu sama lain dan memiliki satu buah penyelesaian, maka itulah yang dinamakan dengan SPLDV. Bentuk umum SPLDV adalah sebagai berikut:

Oh iya, seperti yang sudah dituliskan sebelumnya, terdapat langkah-langkah tertentu untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan SPLDV, yaitu:

  1. Mengganti setiap besaran yang ada di masalah tersebut dengan variabel (biasanya dilambangkan dengan huruf atau simbol).
  2. Membuat model Matematika dari masalah tersebut. Model Matematika ini dirumuskan mengikuti bentuk umum SPLDV.
  3. Mencari solusi dari model permasalahan tersebut dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.

Nah, karena kamu sudah tahu apa saja langkah-langkahnya, sekarang, ayo kita bantu selesaikan masalah Kumamon!

Perhatikan persamaan yang bukan SPLDV dan persamaan yang merupakan SPLDV berikut.

Contoh bukan SPLDV:


  \[ 2x^{2} + 5x = 14 \]

  \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 \]

Contoh SPLDV:

  \[2x + 5y = 14\]

  \[3a + 4b =24\]

  \[q + r = 3\]

Kemudian, bentuk umum sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV):

  \[ ax + by = c \]

  \[ dx + ey = f \]

Terdapat beberapa cara/metode untuk menyelesaikan permasalahan terkait Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Metode-metode tersebut diantaranya adalah

Metode Substitusi

Pembahasaan pertama untuk menyelesaikan permasalahan sistem penyelesaian dua variabel seperti pada dua persamaan yang diberikan di atas adalah dengan metode substitusi. Ada beberapa langkah yang perlu dilakukan untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi. Berikut ini adalah langkah – langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi.

Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi:

  1. Mengubah salah satu persamaan menjadi bentuk y = ax + b atau x = cy + d

    TRIK!! Pilih persamaan yang paling mudah untuk diubah

  2. Substitusi nilai x atau y yang diperoleh pada langkah pertama ke persamaan yang lainnya.
  3. Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai x atau y.
  4. Substitusi nilai x atau y yang diperoleh pada langkah ketiga pada salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai dari variabel yang belum diketahui.
  5. Penyelesaiannya adalah (x, y).

Lihat kembali permasalahan dalam SPLDV seperti pada dua persamaan yang telah diberikan di atas.

Kedua persamaan itu adalah:

  • 2x + 3y = 8 persamaan (i)
  • 3x + y = 5 persamaan (ii)

Penyelesaian permasalahan dengan metode substitusi:

Langkah 1: mengubah salah satu persamaan menjadi bentuk y = ax + b atau x = cy + d

Mengubah persamaan (ii) ke dalam bentuk y = ax + b

3x + y = 5 → y = 5 – 3x

Langkah 2: substitusi y = 5 – 3x pada persamaan 2x + 3y = 8

2x + 3(5 – 3x) = 8

Langkah 3: selesaikan persamaan sehingga diperoleh nilai x

2x + 3(5 – 3x) = 8
2x + 15 – 9x = 8
2x – 9x = 8 –



 

Langkah 4: substitusi nilai x = 1 pada persamaan 2x + 3y = 8 (pilih salah satu, bebas, hasilnya akan sama).


2x + 3y = 8
2(1) + 3y = 8
2 + 3y = 8
3y = 8 – 2
3y = 6 → y = 2

Langkah 5: penyelesaiannya adalah (x, y)

Hasil yang diperoleh x = 1 dan y = 2, jadi penyelesaiannya adalah (1, 2)

Metode Eliminasi

Setiap metode yang digunakan untuk menyelesaikan SPLDV akan mendapatkan hasil akhir yang sama. Cara kedua untuk menyelesaikan SPLDV adalah menggunakan metode eliminasi. Secara ringkas, dalam metode eliminasi adalah menghilangkan salah satu variabel untuk mendapatkan nilai dari satu variabel lainnya. Bagaimanakah caranya? Simak lebih lanjut pada proses pengerjaan SPLDV dengan metode eliminasi berikut.

Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi:

  1. Menyamakan salah satu koefisien dari variabel x atau y dari kedua persamaan dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai.
  2. Hilangkan variabel yang memiliki koefisien yang sama dengan cara menambahkan atau mengurangkan kedua persamaan.
  3. Ulangi kedua langkah untuk mendapatkan variabel yang belum diketahui.
  4. Penyelesaiannya adalah (x, y)

Akan digunakan soal yang sama untuk melihat proses pengerjaan SPLDV dengan metode eliminasi. Perhatikan kembali dua persamaan yang digunakan pada metode substitusi di atas.

  • 2x + 3y = 8 persamaan (i)
  •  3x + y = 5 persamaan (ii)

Penyelesaian permasalahan dengan metode eliminasi:

Langkah 1: menyamakan salah satu koefisien dari variabel x atau y dari kedua persamaan dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai.

Langkah 2: hilangkan variabel yang memiliki koefisien yang sama dengan cara menambahkan atau mengurangkan kedua persamaan.

Langkah 3: ulangi kedua langkah untuk mendapatkan variabel yang sama

Langkah 4: penyelesaiannya adalah (x, y)

Hasil yang diperoleh x = 1 dan y = 2, jadi penyelesaiannya adalah (1, 2).

Contoh Soal SPLDV dan Pembahasan

Seorang tukang parkir mendapat uang sebesar Rp17.000,00 dari 3 buah mobil dan 5 buah motor, sedangkan dari 4 buah mobil dan 2 buah motor ia mendapat Rp18.000,00. Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah …. (SOAL UN Matematika SMP 2016)
A. Rp135.000,00
B. Rp115.000,00
C. Rp110.000,00
D. Rp100.000,00

Pembahasan:

Misalkan:

  • Tarif parkir per mobil = x
  • Tarif parkir per motor = y

Berdasarkan cerita pada soal, dapat diperoleh model matematika seperti di bawah.

3x + 5y = 17.000
4x + 2y = 18.000

Kalikan persamaan pertama dengan 4 (empat) dan persamaan kedua dengan 3 (tiga). Hal ini digunakan untuk membuat salah satu variabelnya sama, sehingga bisa saling mengurangi.

Berdasarkan perhitungan di atas, diperoleh nilai y = 1.000

Substitusi nilai y = 1.000 pada salah satu persamaan yang diketahui, misalnya 3x + 5y =17.000 (pemilihan persamaan yang berbeda akan tetap menghasilkan hasil akhir sama).

3x + 5y = 17.000
3x + 5(1.000) = 17.000
3x + 5.000 = 17.000
3x = 17.000 – 5.000
3x = 12.000
x = 12.000 : 3 = 4.000

Hasil yang diperoleh adalah

Uang parkir mobil = x = Rp.4.000,00
Uang parkir motor = y = Rp.1.000,00

Jadi, uang yang diperoleh untuk 20 mobil dan 30 motor adalah
= 20 x Rp4.000,00 + 30 x Rp1.000,00
= Rp80.000,00 + Rp30.000,00
= Rp110.000,00

Jawaban: C